듀레이션과 볼록성

맥콜레이 듀레이션 (Macaulay Duration)

듀레이션(Duration) 은 채권의 현금흐름 수취 시점을 현재가치로 가중 평균한 값으로, 채권의 이자율 위험(금리 민감도) 을 나타내는 핵심 지표다.

$D = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot \dfrac{CF_t}{(1+r)^t}}{\sum_{t=1}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^t}} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot PV(CF_t)}{P}$

무이표채(Zero-Coupon Bond) 의 맥콜레이 듀레이션은 만기와 동일하다.

금리 변동에 대한 채권 가격의 퍼센트 변화율 을 나타낸다.

$D^* = \frac{D}{1+r}$

$\frac{\Delta P}{P} \approx -D^* \times \Delta r$

예시: $D^* = 5$ , 금리가 0.5%p(50bp) 상승 시

$\frac{\Delta P}{P} \approx -5 \times 0.005 = -0.025 = -2.5\%$

수정 듀레이션이 클수록 금리 변동에 민감하게 반응한다.

콜옵션 내재 채권, MBS 등 내재 옵션이 포함된 채권 의 금리 민감도를 측정하는 지표다. 금리 변동 시 현금흐름 자체가 변할 수 있는 채권에 적용한다.

$D_{eff} = \frac{P_{-} - P_{+}}{2 \cdot P_0 \cdot \Delta r}$

여기서 $P_{-}$ 는 금리 하락 시 가격, $P_{+}$ 는 금리 상승 시 가격이다.

듀레이션은 가격-수익률 관계를 직선 으로 근사하지만, 실제 관계는 볼록한 곡선 이다. 볼록성은 이 곡률을 측정하여 듀레이션의 근사 오차를 보정한다.

$\text{Convexity} = \frac{1}{P \cdot (1+r)^2} \sum_{t=1}^{n} \frac{t(t+1) \cdot CF_t}{(1+r)^t}$

$\frac{\Delta P}{P} \approx -D^* \cdot \Delta r + \frac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta r)^2$

볼록성이 클수록 금리 상승 시 가격 하락이 적고, 금리 하락 시 가격 상승이 더 크다. 따라서 볼록성이 큰 채권이 투자자에게 유리 하다.

채권 포트폴리오의 듀레이션을 투자 목표 기간과 일치 시켜 금리 변동으로 인한 포트폴리오 가치 변화를 상쇄하는 전략이다.

금리가 상승하면 채권 가격은 하락하지만 재투자 수익이 증가하고, 금리가 하락하면 반대 현상이 발생한다. 두 효과가 서로 상쇄되어 목표 수익률을 보장 한다.