옵션의 그릭스(Greeks)

그릭스(Greeks) 개요

그릭스 는 옵션 가격이 각 변수에 얼마나 민감하게 반응하는지를 측정하는 지표입니다. 포지션의 위험 노출을 정량화하고 헤징 전략을 수립하는 데 핵심적으로 활용됩니다.

그릭스	측정 대상	콜옵션 부호	풋옵션 부호
델타(Delta)	기초자산 가격 변화	0 ~ +1	-1 ~ 0
감마(Gamma)	델타의 변화율	양(+)	양(+)
세타(Theta)	시간 경과	음(-)	대부분 음(-)
베가(Vega)	변동성 변화	양(+)	양(+)
로(Rho)	이자율 변화	양(+)	음(-)

델타(Delta)

$\Delta = \frac{\partial C}{\partial S}$

델타 는 기초자산 가격이 1단위 변할 때 옵션 가격의 변화량입니다. 블랙-숄즈 모형에서 콜옵션의 델타는 $N(d_1)$ , 풋옵션의 델타는 $N(d_1) - 1$ 입니다.

ATM 옵션의 델타는 약 0.5(-0.5) 에 가깝습니다
깊은 ITM 콜옵션의 델타는 1에 수렴 합니다
깊은 OTM 콜옵션의 델타는 0에 수렴 합니다

델타 계산 예시

KOSPI200 지수가 현재 400포인트이고, 행사가격 400인 ATM 콜옵션의 델타가 0.55라고 가정합니다.

지수가 401로 1포인트 상승하면: 콜옵션 가격 약 0.55포인트 상승 (근사)
지수가 395로 5포인트 하락하면: 콜옵션 가격 약 $0.55 \times 5 = 2.75$ 포인트 하락 (근사)

기초자산과 옵션의 델타 비교

포지션	델타
주식 1주 매수	+1
주식 1주 공매도	-1
콜옵션 매수	0 ~ +1
콜옵션 매도	-1 ~ 0
풋옵션 매수	-1 ~ 0
풋옵션 매도	0 ~ +1

델타 헤징

델타 헤징은 포트폴리오의 전체 델타를 0으로 만들어 기초자산 소규모 가격 변화에 대한 위험을 제거합니다.

주식 $N_S$ 주와 콜옵션 $N_C$ 계약으로 구성된 포트폴리오가 델타 중립이 되려면:

$N_S + N_C \cdot \Delta_C = 0 \quad \Rightarrow \quad N_S = -N_C \cdot \Delta_C$

델타 헤징 계산 예시

상황: 콜옵션 10계약 매수(계약당 기초자산 100주, 델타 = 0.6)

포트폴리오 총 델타 = $10 \times 100 \times 0.6 = +600$
델타 중립화를 위해 주식 600주 공매도 필요
공매도 후 포트폴리오 델타 = $600 + (-600) \times 1 = 0$

주의: 기초자산 가격이 크게 변하면 델타 자체가 변하므로 지속적인 리밸런싱 이 필요합니다. 이 리밸런싱 비용이 델타 헤징의 주요 비용입니다.

감마(Gamma)

$\Gamma = \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = \frac{\partial \Delta}{\partial S}$

감마 는 델타의 변화율로, 옵션 가격의 볼록성(Convexity)을 나타냅니다. 감마가 클수록 기초자산 가격 변화에 따라 델타가 빠르게 변합니다.

ATM 옵션 에서 감마가 가장 크며, ITM/OTM으로 갈수록 감소합니다
만기가 가까울수록 감마는 급격히 증가합니다
감마 매수(Long Gamma): 변동성 확대에 유리 (스트래들 매수 등)
감마 매도(Short Gamma): 변동성 축소에 유리 (스트래들 매도 등)

감마를 이용한 옵션 가격 근사

기초자산 가격이 $\Delta S$ 변할 때, 2차 근사(테일러 전개)를 이용하면:

$\Delta C \approx \Delta \cdot \Delta S + \frac{1}{2} \Gamma \cdot (\Delta S)^2$

예시: 델타 = 0.5, 감마 = 0.02, 기초자산이 10포인트 상승한 경우:

$\Delta C \approx 0.5 \times 10 + \frac{1}{2} \times 0.02 \times 10^2 = 5 + 1 = 6\text{포인트}$

단순 델타 근사(5포인트)보다 1포인트 더 상승하는 볼록성 효과를 반영합니다.

델타-감마 헤징

델타 헤징만으로는 가격의 2차 변화(곡률)를 반영하지 못합니다. 감마까지 함께 중립화하면 더 정밀한 헤징이 가능합니다.

헤징 절차:

1단계: 다른 옵션으로 포트폴리오 감마를 0으로 조정
2단계: 주식(델타=1, 감마=0)으로 포트폴리오 델타를 0으로 조정

예시: 현재 포트폴리오 델타 = +300, 감마 = +50인 경우

헤징용 옵션(델타 = 0.4, 감마 = 0.02)을 활용한다면
감마 중립화: 헤징 옵션 $-50/0.02 = -2,500$ 단위 매도 → 감마 = 0
헤징 옵션 매도로 인한 델타 변화 = $-2,500 \times 0.4 = -1,000$
총 델타 = $300 + (-1,000) = -700$ → 주식 700주 매수로 델타 중립화

세타(Theta)

$\Theta = \frac{\partial C}{\partial t}$

세타 는 하루가 경과할 때 옵션 가격의 변화량입니다. 시간가치가 만기로 갈수록 감소하므로 대부분 음수 입니다. ATM 옵션에서 절대값이 가장 크고, 만기에 가까울수록 급격히 증가합니다.

세타와 감마의 관계

블랙-숄즈 환경에서 세타와 감마는 다음과 같은 관계를 갖습니다:

$\Theta + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma + rS\Delta - rC = 0$

이는 감마가 클수록 세타 손실도 크다 는 것을 의미합니다. 즉, 변동성 베팅(Long Gamma)의 비용이 시간가치 잠식(Theta)입니다.

포지션	세타	의미
옵션 매수	음(-)	시간 경과에 따라 손실
옵션 매도	양(+)	시간 경과에 따라 이익

베가(Vega)

$\mathcal{V} = \frac{\partial C}{\partial \sigma}$

베가 는 내재변동성이 1% 변할 때 옵션 가격의 변화량입니다. 콜·풋 모두 양수 이므로 변동성 증가는 옵션 매수자에게 유리합니다. ATM 옵션에서 베가가 가장 크고, 잔존기간이 길수록 베가가 커집니다.

베가 계산 예시

콜옵션의 베가가 0.25라면:

내재변동성이 20% → 21%로 1%p 상승 시: 옵션 가격 +0.25 상승
내재변동성이 20% → 18%로 2%p 하락 시: 옵션 가격 $-0.25 \times 2 = -0.50$ 하락

베가 중립 전략

변동성 변화에 무감각한 포트폴리오를 구성하려면 베가를 0으로 만들어야 합니다. 주식은 베가가 0이므로, 옵션끼리의 조합이 필요합니다.

로(Rho)

$\rho = \frac{\partial C}{\partial r}$

로 는 이자율이 1% 변할 때 옵션 가격의 변화량입니다. 콜옵션은 양수, 풋옵션은 음수입니다. 단기 옵션에서는 영향이 미미하여 실무에서 상대적으로 덜 중요시됩니다.

직관적 이해:

이자율 상승 → 주식 선물가격 상승 → 콜옵션 가치 상승, 풋옵션 가치 하락
이자율 상승 → 현재 행사가격의 현재가치 하락 → 콜옵션에 유리

그릭스 종합 활용

포트폴리오 위험 관리 전략

목표	조정 방법
시장 방향성 위험 제거	델타 중립화
대폭 가격 변동 위험 제거	감마 중립화
시간가치 소멸 위험 감소	세타 중립화 (비현실적, 일반적으로 관리)
변동성 변화 위험 제거	베가 중립화

그릭스 간 상호 관계 요약

Long Gamma = Long Vega: 변동성 확대와 급격한 가격 변동 모두에 이익
Long Gamma = Short Theta: 변동성 베팅의 비용은 매일 시간가치 손실
델타 헤징 비용 = 실현변동성 vs 내재변동성 차이: 실현변동성 > 내재변동성이면 감마 매수자에게 이익