옵션의 기초와 가격결정

콜옵션과 풋옵션의 정의

콜옵션(Call Option) 은 기초자산을 행사가격에 매수할 수 있는 권리 입니다. 풋옵션(Put Option) 은 기초자산을 행사가격에 매도할 수 있는 권리 입니다. 옵션 매수자는 권리를 가지고 프리미엄을 지급하며, 매도자는 의무를 부담하고 프리미엄을 수취합니다.

구분	콜옵션 매수	풋옵션 매수
권리	매수 권리	매도 권리
손익 분기	$S_T = X + C$	$S_T = X - P$
최대 손실	프리미엄	프리미엄
최대 이익	이론상 무한대	$X - P$

만기 손익 계산 예시

콜옵션 매수: 행사가격 $X = 100$ , 프리미엄 $C = 5$

$S_T = 110$ : 손익 = $(110 - 100) - 5 = +5$ (이익)
$S_T = 105$ : 손익 = $(105 - 100) - 5 = 0$ (손익분기)
$S_T = 95$ : 손익 = $0 - 5 = -5$ (프리미엄 전액 손실)

풋옵션 매수: 행사가격 $X = 100$ , 프리미엄 $P = 4$

$S_T = 88$ : 손익 = $(100 - 88) - 4 = +8$ (이익)
$S_T = 96$ : 손익 = $(100 - 96) - 4 = 0$ (손익분기)
$S_T = 105$ : 손익 = $0 - 4 = -4$ (프리미엄 전액 손실)

유럽형 vs 미국형 옵션

구분	유럽형(European)	미국형(American)
행사 시점	만기일에만 행사 가능	만기 이전 언제든 행사 가능
가격	낮음	높음 (조기행사 프리미엄)
분석 모형	블랙-숄즈 모형	이항모형, 유한차분법
활용 예	KOSPI200 옵션	대부분의 주식옵션

내재가치와 시간가치

옵션 프리미엄은 두 요소로 구성됩니다:

$\text{옵션 프리미엄} = \text{내재가치} + \text{시간가치}$

내재가치(Intrinsic Value) 는 지금 즉시 행사했을 때의 가치입니다:

콜옵션 내재가치: $\max(S - X, 0)$
풋옵션 내재가치: $\max(X - S, 0)$

시간가치(Time Value) 는 만기까지의 가격 변동 가능성에 대한 가치로, 만기가 가까워질수록 감소합니다(시간가치 잠식, Time Decay).

ITM(In-The-Money): 내재가치 > 0 (콜: $S > X$ , 풋: $S < X$ )
ATM(At-The-Money): $S \approx X$ , 시간가치 최대
OTM(Out-of-The-Money): 내재가치 = 0

내재가치·시간가치 계산 예시

기초자산 가격 $S = 105$ , 행사가격 $X = 100$ , 콜옵션 프리미엄 $C = 8$

$\text{내재가치} = \max(105 - 100, 0) = 5$

$\text{시간가치} = 8 - 5 = 3$

옵션 가격결정 요인

요인	콜옵션	풋옵션
기초자산 가격( $S$ ) 상승	가격 상승	가격 하락
행사가격( $X$ ) 상승	가격 하락	가격 상승
잔존기간( $T$ ) 증가	가격 상승	가격 상승
변동성( $\sigma$ ) 증가	가격 상승	가격 상승
무위험이자율( $r$ ) 상승	가격 상승	가격 하락
배당( $d$ ) 증가	가격 하락	가격 상승

변동성과 잔존기간은 콜·풋 모두 동일한 방향 으로 영향을 미침을 기억해야 합니다.

옵션 가격결정 요인 직관적 이해

변동성 증가: 옵션 매수자는 손실이 프리미엄으로 제한되고, 이익은 무한대이므로 변동성이 클수록 유리합니다. 따라서 콜·풋 모두 가격 상승.

이자율 상승 → 콜 상승, 풋 하락: 이자율이 상승하면 선물가격이 상승합니다. 행사가격의 현재가치가 낮아져 콜이 유리해지고 풋이 불리해집니다.

배당 증가 → 콜 하락, 풋 상승: 배당 지급 시 주가가 배당만큼 하락하므로 콜에는 불리, 풋에는 유리합니다.

풋-콜 패리티(Put-Call Parity)

유럽형 옵션에서 동일한 기초자산, 행사가격, 만기를 가진 콜과 풋 사이에는 다음 관계가 성립합니다:

$C - P = S - Xe^{-rT}$

이를 변형하면 다양한 합성 포지션을 구성할 수 있습니다:

합성 콜: $C = P + S - Xe^{-rT}$ (풋 매수 + 현물 매수 + 차입)
합성 풋: $P = C - S + Xe^{-rT}$ (콜 매수 + 현물 공매도 + 투자)
합성 선물 매수: $C - P = F \cdot e^{-rT}$ (콜 매수 + 풋 매도)

풋-콜 패리티 계산 예시

$S = 100$ , $X = 100$ , $r = 5\%$ , $T = 1$ 년, $C = 10$ 인 경우:

$P = C - S + Xe^{-rT} = 10 - 100 + 100 \times e^{-0.05 \times 1}$

$P = 10 - 100 + 100 \times 0.9512 = 10 - 100 + 95.12 = 5.12$

합성 포지션 정리

원하는 포지션	합성 방법
합성 선물 매수	콜 매수 + 풋 매도 (동일 행사가격, 만기)
합성 선물 매도	콜 매도 + 풋 매수 (동일 행사가격, 만기)
합성 콜 매수	풋 매수 + 현물 매수
합성 풋 매수	콜 매수 + 현물 공매도

블랙-숄즈 모형(Black-Scholes Model)

$C = S \cdot N(d_1) - Xe^{-rT} \cdot N(d_2)$

$P = Xe^{-rT} \cdot N(-d_2) - S \cdot N(-d_1)$

여기서:

$d_1 = \frac{\ln(S/X) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$

$N(\cdot)$ 은 표준정규분포의 누적분포함수입니다.

블랙-숄즈 공식의 직관적 이해

$S \cdot N(d_1)$ : 옵션이 ITM으로 끝날 확률을 반영한 기초자산의 현재가치 기여분
$Xe^{-rT} \cdot N(d_2)$ : 행사가격을 지불할 확률을 반영한 행사가격의 현재가치
$N(d_2)$ : 위험중립 세계에서 콜옵션이 만기에 ITM이 될 확률

모형의 주요 가정: 기초자산 가격은 로그정규분포, 거래비용과 배당 없음, 변동성과 이자율은 상수, 연속거래 가능, 유럽형 옵션.

블랙-숄즈 계산 예시

$S = 100$ , $X = 100$ , $r = 5\%$ , $\sigma = 20\%$ , $T = 1$ 년

$d_1 = \frac{\ln(100/100) + (0.05 + 0.04/2) \times 1}{0.20 \times \sqrt{1}} = \frac{0 + 0.07}{0.20} = 0.35$

$d_2 = 0.35 - 0.20 = 0.15$

표준정규분포표에서 $N(0.35) \approx 0.637$ , $N(0.15) \approx 0.560$

$C = 100 \times 0.637 - 100 \times e^{-0.05} \times 0.560 = 63.7 - 100 \times 0.951 \times 0.560 \approx 10.45$

이항모형(Binomial Model) 기초

단일 기간 이항모형에서 기초자산 가격은 $uS$ (상승) 또는 $dS$ (하락)로만 변동한다고 가정합니다.

위험중립확률(Risk-Neutral Probability):

$p = \frac{e^{rT} - d}{u - d}$

콜옵션 가격: $C = e^{-rT}[p \cdot C_u + (1-p) \cdot C_d]$

이항모형 계산 예시

$S = 100$ , $u = 1.2$ , $d = 0.8$ , $r = 5\%$ , $T = 1$ 년, $X = 100$

$p = \frac{e^{0.05} - 0.8}{1.2 - 0.8} = \frac{1.051 - 0.8}{0.4} = \frac{0.251}{0.4} = 0.628$

만기 주가: $uS = 120$ (콜 가치 = 20), $dS = 80$ (콜 가치 = 0)

$C = e^{-0.05}[0.628 \times 20 + 0.372 \times 0] = 0.951 \times 12.56 \approx 11.94$

이항모형은 다기간으로 확장 가능하며, 미국형 옵션 가격결정에도 활용됩니다.