CAPM과 APT

자본자산가격결정모형(CAPM)

CAPM(Capital Asset Pricing Model) 은 자산의 기대수익률이 체계적 위험(베타)에 의해 결정된다는 균형 모형입니다:

$E(R_i) = R_f + \beta_i[E(R_m) - R_f]$

여기서 $R_f$ 는 무위험이자율, $E(R_m)$ 은 시장포트폴리오 기대수익률, $E(R_m) - R_f$ 는 시장위험프리미엄(Market Risk Premium) 입니다.

계산 예시: $R_f = 3\%$ , $E(R_m) = 10\%$ , $\beta_i = 1.5$ 일 때

$E(R_i) = 3\% + 1.5 \times (10\% - 3\%) = 3\% + 10.5\% = 13.5\%$

이 자산의 CAPM 요구수익률은 13.5%입니다. 실제 기대수익률이 15%라면 저평가(SML 위), 11%라면 고평가(SML 아래)입니다.

CAPM의 주요 가정:

모든 투자자는 평균-분산 기준으로 최적화
투자자들은 동질적 기대(Homogeneous Expectations)를 가짐
세금, 거래비용 없음
무위험이자율로 자유롭게 차입·대출 가능
모든 자산은 거래 가능하며 완전히 분산 가능
단일 기간 투자 모형

베타와 체계적 위험

베타( $\beta$ ) 는 시장 수익률 변화에 대한 자산 수익률의 민감도입니다:

$\beta_i = \frac{\text{Cov}(R_i, R_m)}{\sigma_m^2} = \rho_{im} \cdot \frac{\sigma_i}{\sigma_m}$

베타 계산 예시: $\text{Cov}(R_i, R_m) = 0.018$ , $\sigma_m^2 = 0.012$ 이면

$\beta_i = \frac{0.018}{0.012} = 1.5$

베타	해석	예시 업종
$\beta = 1$	시장과 동일한 움직임	시장 인덱스 펀드
$\beta > 1$	시장보다 크게 변동(공격적 자산)	반도체, 기술주
$0 < \beta < 1$	시장보다 작게 변동(방어적 자산)	유틸리티, 식품주
$\beta = 0$	시장과 무관(무위험자산)	국채(이론적)
$\beta < 0$	시장과 반대 방향(헤지 역할)	금, 일부 역ETF

포트폴리오 베타: 개별 자산 베타의 가중평균

$\beta_p = \sum_{i=1}^{n} w_i \beta_i$

예시: 베타 1.2 주식 60%, 베타 0.5 채권 40%로 구성된 포트폴리오의 베타:

$\beta_p = 0.6 \times 1.2 + 0.4 \times 0.5 = 0.72 + 0.20 = 0.92$

체계적 위험과 비체계적 위험

총위험은 두 부분으로 분해됩니다:

$\sigma_i^2 = \underbrace{\beta_i^2 \sigma_m^2}_{\text{체계적 위험}} + \underbrace{\sigma_{\epsilon_i}^2}_{\text{비체계적 위험}}$

체계적 위험(Systematic Risk): $\beta_i^2 \sigma_m^2$ . 분산 불가. 금리, 경기, 인플레이션 등 시장 전체에 영향을 미치는 위험
비체계적 위험(Unsystematic Risk): $\sigma_{\epsilon_i}^2$ . 분산 가능. 개별 기업의 경영 리스크, 소송, 파업 등 고유 위험

결정계수( $R^2$ ): 총위험 중 체계적 위험의 비중

$R^2 = \frac{\beta_i^2 \sigma_m^2}{\sigma_i^2} = \rho_{im}^2$

$R^2 = 1$ 이면 수익률이 시장에 의해 완전히 설명, $R^2 = 0$ 이면 시장과 무관합니다.

분산투자를 통해 비체계적 위험은 제거 가능하므로, 시장은 체계적 위험에 대해서만 초과수익을 보상 합니다. 따라서 고유 위험이 큰 미분산 자산에 높은 기대수익률을 요구하는 것은 CAPM 관점에서 비합리적입니다.

증권시장선(SML)

증권시장선(SML, Security Market Line) 은 베타와 기대수익률의 선형 관계를 나타냅니다.

$E(R_i) = R_f + \beta_i \times [E(R_m) - R_f]$

SML 위쪽: 저평가된 자산 → 기대수익률 > CAPM 요구수익률 → 매수 신호
SML 아래쪽: 고평가된 자산 → 기대수익률 < CAPM 요구수익률 → 매도 신호

알파( $\alpha$ , Jensen’s Alpha): 실제 수익률과 CAPM 기대수익률의 차이

$\alpha_i = R_i - [R_f + \beta_i(R_m - R_f)]$

$\alpha > 0$ 이면 위험 대비 초과 성과, $\alpha < 0$ 이면 위험 대비 저조한 성과입니다.

계산 예시: $R_f = 3\%$ , $R_m = 10\%$ , $\beta = 1.2$ , 실현수익률 = 14%

$\alpha = 14\% - [3\% + 1.2 \times 7\%] = 14\% - 11.4\% = 2.6\%$

SML vs CML 비교:

구분	CML(자본시장선)	SML(증권시장선)
X축	총위험( $\sigma_p$ )	체계적 위험( $\beta$ )
적용 대상	효율적 포트폴리오만	모든 자산·포트폴리오
위험 척도	표준편차	베타
기울기	샤프 비율	시장위험프리미엄

CML은 완전 분산된 효율적 포트폴리오에만 적용되지만, SML은 개별 자산을 포함한 모든 자산에 적용됩니다.

차익거래가격결정이론(APT)

APT(Arbitrage Pricing Theory) 는 스티븐 로스(Stephen Ross, 1976)가 제안한 다팩터 모형으로, 자산 수익률이 여러 공통 팩터에 의해 결정된다고 가정합니다:

$R_i = E(R_i) + b_{i1}F_1 + b_{i2}F_2 + \cdots + b_{ik}F_k + \epsilon_i$

균형 조건에서 기대수익률:

$E(R_i) = R_f + b_{i1}\lambda_1 + b_{i2}\lambda_2 + \cdots + b_{ik}\lambda_k$

여기서 $\lambda_k$ 는 팩터 $k$ 에 대한 위험프리미엄, $b_{ik}$ 는 팩터 민감도(팩터 베타)입니다.

APT의 핵심 가정: 완전한 차익거래 기회는 시장에서 즉시 소멸합니다. 동일한 위험 노출을 가진 자산들은 동일한 기대수익률을 가져야 하며, 그렇지 않으면 차익거래가 발생해 가격이 조정됩니다.

2팩터 모형 예시: GDP 성장률 팩터( $F_1$ )와 인플레이션 팩터( $F_2$ )가 있을 때

자산 A: $b_{A1} = 1.2$ , $b_{A2} = 0.5$ , $\lambda_1 = 5\%$ , $\lambda_2 = 3\%$ , $R_f = 3\%$

$E(R_A) = 3\% + 1.2 \times 5\% + 0.5 \times 3\% = 3\% + 6\% + 1.5\% = 10.5\%$

팩터 모형의 실무 적용

Fama-French 3팩터 모형 은 CAPM에 두 팩터를 추가하여 설명력을 높였습니다:

$E(R_i) - R_f = \beta_i[E(R_m) - R_f] + s_i \cdot SMB + h_i \cdot HML$

SMB(Small Minus Big): 소형주 - 대형주 수익률 차이 (소형주 프리미엄)
HML(High Minus Low): 고BM - 저BM 수익률 차이 (가치주 프리미엄)

Carhart 4팩터 모형 은 여기에 모멘텀 팩터(MOM) 를 추가합니다.

실무에서 활용되는 주요 팩터:

팩터	내용	근거
시장(Market)	시장 초과수익	CAPM
규모(Size)	소형주 프리미엄	Fama-French
가치(Value)	저PBR 프리미엄	Fama-French
모멘텀(Momentum)	최근 수익률 지속성	Jegadeesh-Titman
저변동성(Low Vol)	낮은 변동성 프리미엄	Ang et al.
수익성(Profitability)	높은 ROE 프리미엄	Fama-French 5팩터

CAPM vs APT 비교

구분	CAPM	APT
팩터 수	1개(시장포트폴리오)	복수의 팩터
핵심 가정	평균-분산 최적화, 동질적 기대	차익거래 기회 없음
시장포트폴리오	명시적으로 필요	불필요
적용 유연성	낮음	높음
팩터 특정	이론이 시장 팩터로 특정	이론이 팩터를 특정하지 않음
실증적 검증	시장포트폴리오 관측 어려움	팩터 선택 주관적

APT는 CAPM보다 가정이 덜 엄격하고 다양한 위험 요인을 반영할 수 있지만, 팩터의 수와 종류를 이론이 특정하지 않는 단점이 있습니다. 실무에서는 두 모형을 보완적으로 활용하며, 팩터 투자(Factor Investing) 또는 스마트 베타(Smart Beta) 전략의 이론적 근거가 됩니다.