VaR와 시장위험 관리

VaR의 정의와 해석

VaR(Value at Risk) 는 주어진 신뢰수준 에서 특정 보유 기간 동안 발생할 수 있는 최대 예상 손실액 이다.

예: “95% 신뢰수준, 1일 보유 기간 기준 VaR = 1억 원” 의미: 다음 1일 동안 손실이 1억 원을 초과할 확률이 5%이다.

정규분포를 가정할 때 VaR 공식은 다음과 같다.

$VaR = \mu - z_\alpha \cdot \sigma$

단순화하여 평균 수익을 0으로 가정하면:

$VaR = z_\alpha \cdot \sigma \cdot W$

• $z_\alpha$: 신뢰수준에 해당하는 표준정규분포 분위수 (95% → 1.645, 99% → 2.326)
• $\sigma$: 수익률 표준편차
• $W$: 포트폴리오 가치

VaR의 한계

• 정규분포 가정: 실제 수익률은 두꺼운 꼬리(Fat Tail) 를 가져 극단적 손실을 과소평가할 수 있다
• 신뢰수준 밖 손실 무시: VaR를 초과하는 손실의 크기(꼬리 위험)를 측정하지 못한다
• 비가산성: 포트폴리오 VaR가 개별 자산 VaR 합산과 다를 수 있다

이를 보완하는 지표로 CVaR(Conditional VaR, 조건부 VaR) 또는 ES(Expected Shortfall) 가 있다. CVaR는 VaR를 초과하는 손실의 기대값이다.

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VaR 산출 방법

분산-공분산법 (Parametric Method)

수익률이 정규분포 를 따른다고 가정하고 평균과 분산으로 VaR를 계산한다.

$VaR = z_\alpha \cdot \sigma_p \cdot W$

• 장점: 계산이 간단하고 빠름
• 단점: 정규분포 가정이 현실과 다를 수 있음, 비선형 자산(옵션 등)에 부적합

역사적 시뮬레이션법 (Historical Simulation)

과거 실제 수익률 데이터를 이용하여 손익 분포를 구성하고 분위수를 읽어낸다.

1. 과거 수익률(예: 최근 500일)을 수집
2. 현재 포트폴리오에 과거 변동 적용하여 손익 계산
3. 손익을 정렬하여 해당 분위수에서 VaR 추출

• 장점: 분포 가정 불필요, 비선형 자산에도 적용 가능
• 단점: 과거 데이터가 미래를 대표하지 못할 수 있음, 대용량 데이터 필요

몬테카를로 시뮬레이션법 (Monte Carlo Simulation)

난수 를 이용하여 수많은 시나리오를 생성하고 손익 분포를 추정한다.

1. 수익률 분포(정규분포 또는 기타)를 가정
2. 대규모 난수 시나리오(수만~수십만 회) 생성
3. 각 시나리오의 포트폴리오 손익 계산
4. 손익 분포에서 분위수로 VaR 산출

• 장점: 복잡한 비선형 자산 및 다양한 분포 가정 가능
• 단점: 계산 비용이 높고, 모형 위험(분포 가정 오류) 존재

방법	분포 가정	비선형 자산	계산 속도
분산-공분산	정규분포	부적합	빠름
역사적 시뮬레이션	없음	적합	중간
몬테카를로	선택 가능	적합	느림

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한계VaR, 성분VaR, 증분VaR

한계VaR (Marginal VaR)

포트폴리오에 소량의 자산을 추가 할 때 포트폴리오 VaR가 변화하는 민감도다.

$MVaR_i = \frac{\partial VaR_p}{\partial w_i}$

한계VaR가 낮은 자산을 추가하면 포트폴리오 전체 위험을 줄일 수 있다.

성분VaR (Component VaR)

포트폴리오 전체 VaR에서 각 자산이 기여하는 비율 이다.

$CVaR_i = MVaR_i \cdot w_i$

$VaR_p = \sum_i CVaR_i$

성분VaR를 통해 어떤 자산이 포트폴리오 위험에 가장 크게 기여하는지 파악할 수 있다.

증분VaR (Incremental VaR)

특정 자산을 포트폴리오에 추가(또는 제거) 할 때 포트폴리오 VaR의 변화량이다. 한계VaR의 이산 버전이다.

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스트레스테스트

스트레스테스트(Stress Test) 는 극단적이지만 발생 가능한 시나리오에서 포트폴리오 손실을 측정하는 방법이다. 정규분포 가정에 기반한 VaR가 포착하지 못하는 꼬리 위험 을 평가한다.

• 역사적 시나리오: 1997년 아시아 금융위기, 2008년 글로벌 금융위기 등 실제 사건 재현
• 가상 시나리오: 금리 급등, 주가 폭락, 환율 급변 등 가상의 충격 설정
• 역방향 스트레스테스트: 포트폴리오를 심각하게 훼손할 시나리오를 역산

스트레스테스트는 VaR를 보완 하는 도구이며, 단독으로 사용하기보다 VaR와 함께 활용한다.

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백테스팅

백테스팅(Backtesting) 은 VaR 모형의 정확성을 사후 검증 하는 절차다. 실제 손실이 VaR를 초과하는 빈도(예외(Exception) 횟수)를 세어 모형의 적합성을 평가한다.

• 기대 예외 횟수: 신뢰수준 99% 모형에서는 100거래일 중 약 1회 예외 기대
• 쿠피엑 검정(Kupiec Test): 예외 발생 횟수가 통계적으로 적합한지 검정
• 크리스토퍼센 검정: 예외의 독립성도 함께 검정

바젤 협약에서는 백테스팅 결과에 따라 가산자본 요구 를 부과한다. 예외 횟수가 많을수록 내부 모형의 신뢰도가 낮아 추가 자본을 요구한다.