계량분석 기초

확률과 통계 기초

확률변수 $X$ 의 기대값 은 가능한 결과에 확률을 가중하여 합산한 값이다.

$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i)$

연속형 자산 수익률의 경우 과거 관측치의 평균으로 추정한다.

분산(Variance) 은 기대값 주변의 흩어짐 정도를 측정한다.

$\sigma^2 = E[(X - \mu)^2] = \sum_{i} (x_i - \mu)^2 \cdot P(x_i)$

표준편차 $\sigma$ 는 분산의 제곱근이며, 원래 단위와 동일하여 해석이 용이하다. 투자에서는 수익률의 표준편차를 위험(Risk) 의 척도로 사용한다.

두 자산 수익률의 동조 방향성과 크기 를 측정한다.

$Cov(R_A, R_B) = E[(R_A - \mu_A)(R_B - \mu_B)]$

공분산을 각 자산의 표준편차로 나누어 표준화 한 값이다.

$\rho_{AB} = \frac{Cov(R_A, R_B)}{\sigma_A \cdot \sigma_B}$

$\rho$ 의 범위는 $-1 \leq \rho \leq 1$ 이며, $\rho = -1$ 이면 완전 음의 상관, $\rho = 1$ 이면 완전 양의 상관이다. $\rho < 1$ 인 경우 분산투자로 포트폴리오 위험을 낮출 수 있다.

정규분포(Normal Distribution) 는 평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양의 분포다. 수익률 분포를 정규분포로 가정하는 경우가 많다.

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

표준정규분포 는 평균 0, 표준편차 1인 정규분포다. 임의의 정규분포를 표준화하면 표준정규분포를 따른다.

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

VaR 계산 시 신뢰수준 95%는 $z = 1.65$ , 99%는 $z = 2.33$ 을 사용한다.

종속변수 $Y$ 를 하나의 독립변수 $X$ 로 설명하는 모형이다.

$Y_i = \alpha + \beta X_i + \epsilon_i$

금융에서는 주식 수익률( $R_i$ )을 시장수익률( $R_m$ )로 회귀하는 CAPM 회귀 가 대표적이다.

$R_i = \alpha_i + \beta_i R_m + \epsilon_i$

복수의 독립변수로 종속변수를 설명하는 모형이다.

$Y_i = \alpha + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \cdots + \beta_k X_{ki} + \epsilon_i$

다중 회귀에서는 다중공선성(Multicollinearity) 문제(독립변수 간 높은 상관관계)에 주의해야 한다.

결정계수 는 회귀모형이 종속변수의 변동을 얼마나 설명하는지 나타내는 지표다.

$R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} = \frac{SSR}{SST}$

t-검정 은 표본에서 추정한 모수가 통계적으로 유의한지 검정하는 방법이다. 회귀계수가 0과 유의하게 다른지 검정할 때 사용한다.

$t = \frac{\hat{\beta} - 0}{SE(\hat{\beta})}$

$|t|$ 값이 임계값(자유도와 유의수준에 따라 결정)보다 크면 귀무가설(계수 = 0)을 기각한다. 실무에서는 p-값 이 0.05 미만이면 5% 수준에서 유의하다고 판단한다.

시계열(Time Series) 은 동일 변수를 시간 순서로 관측한 데이터다. 금융 데이터의 대부분이 시계열이다.